?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

Знаете, друзья, иногда я вспоминаю, что когда-то в стародавние времена я училась на матфаке:) Но мне это кажется просто прекрасным без отсыла к какой-либо специальности!
Оригинал взят у kukina_kat в Математическое искусство Морица Эшера
Сделала для жж нашего матфака пост про Мориса Эшера. Хочу поделиться с любимыми френдами, потому что, как мне кажется, Эшер интересен не только математикам.

Оригинал взят у imit_omsu в Математическое искусство Морица Эшера

«Математики открыли дверь, ведущую в другой мир, но сами войти в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на котором стоит дверь, чем сад, лежащий за ней».
(М.К.Эшер)


Литография "Рука с зеркальной сферой", автопортрет.

Мауриц Корнелиус Эшер -- известный каждому математику голландский художник-график.
Для сюжетов произведений Эшера характерно остроумное осмысление логических и пластических парадоксов.
Известен, в первую очередь, работами, в которых он использовал разные математические концепции -- от предела и ленты Мебиуса до геометрии Лобачевского.


Ксилография "Красные муравьи".

Специального математического образования Мауриц Эшер не получал. Но с самого начала творческой карьеры интересовался свойствами пространства, изучал его неожиданные стороны.


"Узы единства".

Зачастую баловался Эшер с сочетаниями 2-мерного и 3-мерного мира.

Литография "Рисующие руки".


Литография "Рептилии".

Замощения.

Замощением называют разбиение плоскости на одинаковые фигуры. Для изучения такого рода разбиений традиционно используют понятие группа симметрий. Представим себе плоскость, на которой нарисовано некоторое замощение. Плоскость можно вращать вокруг произвольной оси и сдвигать. Сдвиг определяется вектором сдвига, а поворот -- центром и углом. Такие преобразования называются движениями. Говорят, что то или иное движение -- симметрия, если после него замощение переходит в себя.

Рассмотрим для примера плоскость, разбитую на одинаковые квадраты -- бесконечный во все стороны лист тетради в клетку. Если такую плоскость повернуть на 90 градусов (180, 270 или 360 градусов) вокруг центра любого квадрата, замощение перейдет в себя. Также оно переходит в себя при сдвиге на вектор, параллельный одной из сторон квадратов. Длина вектора при этом должна быть кратна стороне квадрата.

В 1924 году геометр Джордж Полиа (до переезда в США Дьердь Пойа) опубликовал работу, посвященную группам симметрий замощений, в которой доказал замечательный факт (правда, уже обнаруженный в 1891 году российским математиком Евграфом Федоровым, а позже благополучно забытый): существует всего 17 групп симметрий, в состав которых входят сдвиги как минимум в двух разных направлениях. В 1936-м Эшер, заинтересовавшись мавританскими орнаментами (с геометрической точки зрения, вариант замощения), прочитал работу Полиа. Несмотря на то, что всей математики, стоящей за работой, он, по его собственному признанию, не понял, Эшер сумел ухватить ее геометрическую суть. В результате на основе всех 17 групп Эшер создал более 40 работ.


Мозаика.


Ксилография "День и ночь".


"Регулярное замощение плоскости IV".


Ксилография "Небо и вода".

Замощения. Группа-то простая, породающие: скользящая симметрия и параллельный перенос. А вот плитки замощения -- чудесные. И в сочетании с Лентой Мёбиуса это все.

Ксилография "Всадники".

Еще одна вариация на тему плоского и объемного мира и замощений.

Литография "Волшебное зеркало".

Эшер дружил с физиком Роджером Пенроузом. В свободное от физики время Пенроуз занимался тем, что решал математические головоломки. Однажды ему пришла в голову такая идея: если вообразить замощение, состоящее более чем из одной фигуры, будет ли его группа симметрий отличаться от описанных у Полиа? Как оказалось, ответ на этот вопрос утвердительный — так на свет появилась мозаика Пенроуза. В 1980-х выяснилось, что она связана с квазикристаллами (Нобелевская премия по химии 2011 года).

Однако Эшер не успел (а, может, и не захотел) использовать в работе эту мозаику. (Но есть совершенно чудесная мозаика Пенроуза "Куры Пенроуза", их нарисовал не Эшер.)

Плоскость Лобачевского.

Пятым в списке аксиом в «Началах» Евклида в реконструкции Гейберга значится такое утверждение: если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых. В современной литературе предпочитают эквивалентную и более изящную формулировку: через точку, не лежащую на прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. Но даже в такой формулировке аксиома, в отличие от остальных постулатов Евклида, выглядит громоздко и запутанно -- именно поэтому на протяжении двух тысяч лет ученые пытались вывести это утверждение из остальных аксиом. То есть, фактически, превратить постулат в теорему.

В XIX веке математик Николай Лобачевский попытался сделать это от противного: он предположил, что постулат неверен, и попытался обнаружить противоречие. Но его не нашлось -- и в результате Лобачевский построил новую геометрию. В ней через точку, не лежащую на прямой, проходит бесконечное множество различных прямых, не пересекающихся с данной. Лобачевский был не первым, кто обнаружил эту новую геометрию. Но он был первым, кто решился заявить о ней публично -- за что, разумеется, его подняли на смех.

Посмертное признание работ Лобачевского состоялось, среди прочего, благодаря появлению моделей его геометрии -- систем объектов на обычной евклидовой плоскости, которые удовлетворяли всем аксиомам Евклида, за исключением пятого постулата. Одна из этих моделей была предложена математиком и физиком Анри Пуанкаре в 1882 году -- для нужд функционального и комплексного анализа.

Пусть есть круг, границу которого назовем абсолютом. «Точками» в нашей модели будут внутренние точки круга. Роль «прямых» исполняют окружности или прямые, перпендикулярные абсолюту (точнее, их дуги, попавшие внутрь круга). То, что для таких «прямых» не выполняется пятый постулат, практически очевидно. То, что для этих объектов выполнены остальные постулаты -- очевидно чуть менее, однако, это так и есть.

Оказывается, в модели Пуанкаре можно определить расстояние между точками. Для вычисления длины требуется понятие римановой метрики. Ее свойства таковы: чем ближе пара точек «прямой» к абсолюту, тем больше расстояние между ними. Также между «прямыми» определены углы -- это углы между касательными в точке пересечения «прямых».

Теперь вернемся к замощениям. Как они будут выглядеть, если разбить на одинаковые правильные многоугольники (то есть многоугольники со всеми равными сторонами и углами) уже модель Пуанкаре? Например, многоугольники должны становиться тем меньше, чем ближе они располагаются к абсолюту. Эта идея и была реализована Эшером в серии работ «Предел-круг». Впрочем, голландец использовал не правильные разбиения, но их более симметричные версии. Тот случай, где красота оказалась важнее математической точности.


Ксилография "Предел -- круг II".


Ксилография "Предел -- круг III".


Ксилография "Рай и ад".

Невозможные фигуры.

Невозможными фигурами принято называть особые оптические иллюзии — они как будто являются изображением некоторого трехмерного объекта на плоскости. Но при внимательном рассмотрении в их строении обнаруживаются геометрические противоречия. Невозможные фигуры интересны не только математикам — ими занимаются и психологи, и специалисты по дизайну.

Прадедушка невозможных фигур -- так называемый куб Некера, привычное всем изображение куба на плоскости. Оно было предложено шведским кристаллографом Луисом Некером в 1832 году. Особенность этого изображения в том, что его можно интерпретировать разным образом. Например, угол, обозначенный на этом рисунке красным кругом, может быть как ближним к нам из всех углов куба, так и, наоборот, самым дальним.

Первые настоящие невозможные фигуры как таковые были созданы другим шведским ученым Оскаром Рутерсвардом в 1930-х. В частности, он придумал собрать из кубиков треугольник, который не может существовать в природе. Независимо от Рутерсварда уже упоминавшийся Роджер Пенроуз вместе со своим отцом Лайонелом Пенроузом опубликовали в журнале British Journal of Psychology работу под названием «Невозможные объекты: Особый тип оптических иллюзий» (1956). В ней Пенроузы предложили два таких объекта -- треугольник Пенроуза (цельную версию конструкции Рутерсварда из кубов) и лестницу Пенроуза. Вдохновителем своей работы они назвали Маурица Эшера.

Оба объекта -- и треугольник, и лестница -- позже появились и в картинах Эшера.


Литография "Относительность".


Литография "Водопад".


Литография "Бельведер".


Литография "Восхождение и спуск".

Другие работы с математическим смыслом:

Звездчатые многоугольники:

Ксилография "Звезды".


Литография "Кубическое деление пространства".


Литография "Поверхность, покрытая рябью".




Литография "Три мира"

На основе этого обзора, материалов Википедии и книжки М.Гарднера "Математические новеллы" (глава 11).
promo sago_cuisine may 11, 2017 17:57 1
Buy for 100 tokens
Првет, друзья! Когда друзья затевают интересное и нужное дело, грех не поделиться! Желаю Валерии удачи и заинтересованных, влюблённых в вина, клиентов! Оригинал взят у tasting_of_life в Винный гид по Ростовской области Друзья, я зрела-зрела и созрела. Много лет я с удовольствием…

Comments

( 8 комментариев — Оставить комментарий )
bumchik
3 мар, 2014 17:27 (UTC)
недавно купила книги с этими работами, получаю невероятное наслаждение от разглядывания, особенно от http://www.mcescher.com/gallery/most-popular/metamorphosis-ii/
sago_cuisine
4 мар, 2014 06:37 (UTC)
да, это что-то нереальное, алхимия какая то, я уже сказала Кате:))
iiirusya
3 мар, 2014 20:57 (UTC)
Как здорово! А я ведь тоже мехмат закончила :)
sago_cuisine
4 мар, 2014 06:28 (UTC)
Ух ты, сИстра!:)
iiirusya
4 мар, 2014 12:48 (UTC)
ага :) А тебе математика пригодилась?
sago_cuisine
4 мар, 2014 12:51 (UTC)
нет, Ира, разве что немного Кириллу помогала в учёбе:)
iiirusya
4 мар, 2014 13:23 (UTC)
Чувствую, у меня будет такое же применение :)))
sago_cuisine
4 мар, 2014 13:27 (UTC)
ну, это нормально:)))
( 8 комментариев — Оставить комментарий )

Latest Month

Июнь 2018
Вс Пн Вт Ср Чт Пт Сб
     12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930

Метки

Разработано LiveJournal.com